メモ：選択公理抜きで線型写像をどれだけ自在に選べるか

以下の会話（抜粋）に関連してメモ。

（注： $x = 0$ かつ $y \neq 0$ だと成立しないため、そうでないという仮定を各自で幻視してください。）

冒頭に挙げられた命題（これを（＊）で表す）から、最後に挙げられた命題、より正確には

線型空間 $V$ の一次独立な元 $v_1$ , $v_2$ 、同じ体上の線型空間 $W$ の元 $w_1$ , $w_2$ について、 $f(v_1) = w_1$ , $f(v_2) = w_2$ を満たす線型写像 $f : V \to W$ が存在する
（これを（＊＊）で表す）

を選択公理抜き（ZF公理系）で導けることを示す。このことと上で引用した内容から、冒頭の命題（＊）はZF公理系では証明できないことがわかる（選択公理を使える場合には、 $v$ を含む $V$ の基底が取れることから件の性質が証明できる）。

まず、命題（＊）を

線型空間 $V$ の元 $v \neq 0$ 、同じ体上の線型空間 $W$ の元 $w$ について、 $f(v) = w$ を満たす線型写像 $f : V \to W$ が存在する
（これを（＊＊＊）で表す）

という形に拡張できることを確かめておく。
実際、（＊）を用いて直和 $V \oplus W$ 上で $v$ を $w$ に写す線型写像が得られるので、あとはその定義域を $V$ に制限した上で、行き先側で射影 $V \oplus W \to W$ と合成すればよい。

さて本題に戻ると、まず、（＊＊＊）を用いて $g(v_1) = w_1$ を満たす線型写像 $g : V \to W$ が得られる。
次に、 $v_1$ で生成される部分空間で $V$ を割った商空間を $V'$ と書き、射影 $V \to V'$ を $\pi$ と書くと、再び（＊＊＊）を用いて、 $\pi(v_2)$ を $w_2 - g(v_2)$ へ写す線型写像 $V' \to W$ が得られる（ $v_1$ と $v_2$ が一次独立であることから $\pi(v_2) \neq 0$ であることに注意）。これと $\pi$ を合成したものを $h : V \to W$ と書くと、 $h(v_2) = w_2 - g(v_2)$ であり、一方 $\pi(v_1) = 0$ なので $h(v_1) = 0$ である。
これらから、 $f = g + h$ は $f(v_1) = g(v_1) + h(v_1) = w_1 + 0 = w_1$ および $f(v_2) = g(v_2) + h(v_2) = g(v_2) + (w_2 - g(v_2)) = w_2$ を満たす。これが（＊＊）で求められている線型写像である。（証明終）