ちょっとした問題 - 出題編 -

某所で話題にしたちょっとした問題をこちらでも紹介してみます。

（難易度：ふつう） 29292929・・・と、「29」をいくつか繋げてできる数を考えます。この数が29の二乗の倍数になることはあるでしょうか？もしあるとしたら、そのような最も小さい数は、「29」をいくつ繋げた数でしょうか？
（難易度：そこそこ難しい）素数pについて、pを（10進数表記して）k個繋げてできる数（kは正整数）をN(p,k)と書くことにします。例えばN(5,3) = 555、N(29,2) = 2929です。このとき、「N(p,k)がpの二乗の倍数となる最小のkの値はk=pである」・・・（＊）という条件を満たす2桁以内の素数pは全部でいくつあるでしょう？
（難易度：けっこう難しい）同様に、今年は平成22年ということで、条件（＊）を満たす22桁以内の素数pは全部でいくつあるでしょう？
（難易度：とんでもなく難しい）では、一般に、条件（＊）を満たす素数pはどのくらいあるでしょうか？有限個でしょうか無限個でしょうか？また有限個だとしたら個数はいくつでしょうか？

難易度はあまりちゃんと考えずにつけたので気にしすぎないで下さい。また、難易度についてはプロの方は想定していませんので、問3とか解いて「どこが難しいの？」と思ったプロの方は問4が解けるよう頑張って下さい。
多分そのうち解説編を書くと思います。