「偶数と偶数の和は偶数であることの説明」について

偶数と偶数の和は偶数であることの説明 - 紙屋研究所という記事を読んで。

ぼくが参加しているのは、基本は小中学校生の「宿題をやる会」みたいな感じで、そこでごく数名が講師にわからない点を聞いているみたいな風景。

（引用時略）

その子は次の問題を「わからない」と言ってきた。

（問題）

正さんは「偶数と偶数の和は偶数である」ことを説明しようとして、次のように説明した。

• mは整数である。
• ゆえに2mは偶数である。
• 2m+2m=4m=2(2m)
• よって偶数と偶数の和は偶数である。

この説明に対して、進さんは「偶数と偶数の和は偶数である」として「2m+2mを用いるのは間違いだ」とした。進さんの説明が正しいのか、間違っているのかを説明しなさい。

出題で指摘されている点も確かに間違いなのだが、そもそも「mは整数である」という書き出しからして問題を孕んでいる。こういう出題にすると、「指摘されている箇所以外は問題ないんだ」と生徒に刷り込ませる弊害が起きかねないのでもっと慎重な出題にしてほしい。

「mは整数である」という書き出しの何が悪いのかというと、ここで唐突に出現したmと、目標の命題に書かれている「偶数」がどう関係しているのか不明なことである。私が件の命題の証明を（生徒向けに普段より丁寧に）書くとしたら例えば以下のようになるだろう。

• 偶数とは2で割り切れる整数のことである。
• そこで、命題中の一つめの偶数を2で割った結果も整数である。これを仮にmとする。このとき、一つめの偶数は2mと表せる。
• 同様に、命題中の二つめの偶数を2で割った結果も整数である。これを仮にnとする。このとき、二つめの偶数は2nと表せる。
• すると、一つめの偶数と二つめの偶数の和は2m + 2n = 2(m + n)と表せる。mとnは整数なのでm + nも整数であり、従って一つめの偶数と二つめの偶数の和は確かに2で割り切れる、つまり偶数である。

これを踏まえて、件の命題の「誤った証明」を書くとしたら例えば以下のようになるだろうか。

（誤った証明）

• 偶数とは2で割り切れる整数のことである。
• そこで、偶数を2で割った結果は整数なので、これを仮にmとすると、もとの偶数は2mと表せる。
• すると、偶数と偶数の和は2m + 2m = 4m = 2(2m)と表せる。mは整数なので2mも整数であり、従って偶数と偶数の和は確かに2で割り切れる、つまり偶数である。

（誤った証明終）

…とここまで書いて気がついたのだが、そもそも件の出題の意図が「「偶数と偶数の和は偶数である」を「二つの数があり、そのどちらも偶数であるならば、それらの和も偶数である」のように行間を読んで解釈できるようになりなさい」なのか「異なる（より正確には、互いに独立に与えられている）数を表すのに同じ文字を使ってはいけません」なのかも自明でないような気がしてきた。まさか、出題者自身が両者を混同していることはないと思うのだが、真の意図はどちらなのだろう？