順序集合に関する質問（追記：自己解決しました）

今ちょっと整列集合Wでランク付けされた半順序集合P（Pの中でx < yなら、Wの中で「xのランク」< 「yのランク」）について考えています。ランク $w \in W$ を持つPの元全体を $P_w$ （空でないとする）と書き、以下の二つの条件

任意の $x \in P_w$ について、wがWの最大元でないなら、ある $y \in P_{w + 1}$ が存在して[tex:x
任意の[tex:u

を仮定します。このとき、ZFC集合論の範囲で、全ての $w \in W$ について $C \cap P_w \neq \emptyset$ となるようなPのchain Cの存在はいえるのでしょうか。
もしいえないとしたら、他に何らかの条件（Wの濃度など）をつけた場合には何かわかることはあるでしょうか。

私はネット外に集合論な知人がいないのですが、はてなにはid:kururu_goedelさんなど集合論な方々がおられるようなので、この場で質問させていただきます。もちろんくるるさん以外の方からのご回答も歓迎しますので、詳しい方よろしくお願いいたします。
（質問するのにこちらへ呼ぶのもアレですが、先方の記事に関係ないコメントを長々とするのも同様にアレなので、こちらで書かせてもらいました。）

追記（2008年9月12日）

一般には成り立たないという反例を見つけました。
正整数の対(x,y)全体の集合に一点*を付け加えた集合に、 $y < y' \Rightarrow (x,y) \prec (x,y')$ と $y \leq x \Rightarrow (x,y) \prec \ast$ で順序を入れたものが反例になっていると思います。これだとランクの集合Wは可算濃度なので、Wの濃度を制限してもうまくいきそうにないですね。