可算無限が関が原

最近久々に数学者らしく一般次元の線型空間なるものを扱っているのですが、示したい命題について可算無限次元のあたりが天下分け目の関が原みたいになっていて、有限次元に対する性質を可算無限次元に持ち上げるか、一般次元の性質の証明を可算無限次元に帰着させるかのどちらかがうまくいけば証明が完了しそうなのに中々うまくいかずに悶々としている今日この頃です。