連続体濃度はアレフ何なのかなぁという疑問

http://d.hatena.ne.jp/buyobuyo/20090503/p1という記事を読んでいて、そういえば可算無限濃度と連続体濃度の間には高々いくつまでしか濃度の種類がない、みたいな結果って得られているのかなぁ、と思いながら晩御飯食べて戻ってきたらid:gerlingさんが同じような内容のコメントをされてました。
そのコメントへの返答経由でid:kururu_goedelさんの記事（「連続体濃度がアレフ２より大きくなって欲しくない理由 - くるるの数学ノート」あたり）を読んだりもしてみたのですが・・・。う〜ん、どうなんでしょう。「連続体濃度はアレフ２であるべきだ」と思っているその筋の方々が多いしそれっぽい状況証拠もある、という話は興味深かったのですが、上の件について何らかの自明でない上界が証明されているというわけではないんですかね。