二項演算を持つ集合が群になる条件

某所で話題になっていた件についての備忘録です。

命題

空でない集合Gに結合法則を満たす二項演算Bが与えられている（以下、B(x,y)をxyと略記）とき、以下の２条件
（１）Gの任意の元 x について、写像 L_x:G → G, L_x(y)=xy は全単射
（２）Gの任意の元 x について、写像 R_x:G → G, R_x(y)=yx は全単射
を満たすならば、Gはこの二項演算に関して群となる。
（注意：Gが群ならばこれら２条件は満たされるので、実際はこれら２条件はGが群となるための必要充分条件です。）

証明

ステップ１： ee=e となる元 e が存在

Gの元 g をどれか一つ取る。条件（１）の全射性より、ge=L_g(e)=g となる元 e が存在する。このとき L_g(ee)=g(ee)=(ge)e=ge=L_g(e) となるので、条件（１）の単射性より ee=e （ステップ１終わり）

ステップ２：ステップ１の元 e は単位元

Gの任意の元 g について、h=ge と置くと、 R_e(h)=he=(ge)e=g(ee)=ge=R_e(g) （４番目の等号でステップ１の性質 ee=e を使用）となるので、条件（２）の単射性より ge=h=g となる。積の順序を入れ替えた同様の議論で eg=g も示せるので、 ge=g=eg （ステップ２終わり）

ステップ３：逆元の存在

Gの任意の元 g について、条件（１）（２）の全射性より fg=e=gh となる元 f と h が存在する。このとき h=eh=(fg)h=f(gh)=fe=f （最初と最後の等号のためにステップ２の結果を使用）となるので、 fg=e=gf つまり f が g の逆元となる。（証明終わり）