外延性の公理について

おまけ。

集合の = は⊆かつ⊇の略記

違います！集合のX=Yは、集合というオブジェクトとして等しいという意味です！！外延性の公理があるから全てのxに対してが成り立っていればX=Yになってくれるというだけです！！！……というのが正しい集合論脳であります。

証明方法とか云々 - くるるの数学ノート

なるほど、外延性の公理は「オブジェクトとして等しい」という積極的（意味論的、超越的）等値性と、「各々のオブジェクトについてそれを含むか含まないか調べるだけでは両者を区別できない」という消極的（操作論的）等値性の一致を仮定していることになるんでしょうか。でも、それらが一致することって哲学的には全く自明ではないですよね、多分。
個人的には、まず超越的な「＝」の定義とそれで識別されるオブジェクトのクラスが与えられていて、そこに操作論的な等値性を同値関係として導入して、以降は大元のクラスをその同値関係で類別した商クラスについてのみ考察する、という論理展開にすると、外延性の公理に相当する性質を公理として導入する必要がなくなるように思えるのですが、公理的集合論で同値関係がどのように定式化されているのか知らないので循環論法的な意味で無理筋なのでしょうか。