『数学セミナー』2015年1月号のある記事について

『数学セミナー』2015年1月号の、浪川幸彦氏による連載記事「学校数学から見える数学の風景」に、以下のような記述がある。（中略は引用者による。なお、下記の「多項式」は実数体上の多項式に限っていることを注意しておく。）

　これは「お話し」であるが, 実は高校数学で看過されている問題に通じる. 【引用者注：「看過していること自体はやむを得ないのであるが.」という脚注が付いている。】
　それはほかでもない多項式関数についてである. 二つの多項式（中略）が「多項式として等しい」とは, そのすべての係数が等しい, すなわち (I)（中略）の意味である. （中略）「多項式関数として等しい」とは, そのすべての関数値が等しい, すなわち (II)（中略）の意味である. 明らかに (I) $\Rightarrow$ (II) であるが, 逆は自明でない.
　逆命題の一般次数に対する証明は2種類あるが, いずれも高校数学の範囲を越える.
（中略）
　二つ目は離散的な証明で次の命題を示す：

「異なるn+1個の点での値を定めれば, それをみたすn次多項式がただ一つ存在する.」

（中略）この「連立方程式の係数行列式」がヴァンデルモンドの行列式にほかならず, 「異なる点」との条件から唯一の解を持つことが導かれる, という仕組みである.
　この多項式と多項式関数とにおける「等しい」の意味の同値性は, 理学部数学科においてさえ十分教えられていないのではなかろうか？

上記文中の「逆命題」は、(II) ならば (I)、つまり「二つの（実数体上の1変数）多項式があらゆる点で等しい値をとるならば、両者の係数の各々も互いに等しい」という命題である。
筆者はその高校数学の範囲を越える証明の例として線型代数を用いた証明を挙げているが、この証明で示されている性質「ただ一つ存在する」は「ただ一つ」と「存在する」の二つに分けることができ、今回の「逆命題」に必要な性質は前者の「ただ一つ」の側だけである。一方、ヴァンデルモンド行列を用いたこの証明の主なターゲットは、むしろ後者の「存在する」の側であって、「ただ一つ」の証明にも線型代数が必要であるかのような上記の記述は誤解を招きかねない不適切なものだと考える。
実際、多項式に関する剰余定理の系として得られる命題「零でない（実数係数）n次多項式の零点の個数はn個以下である」から上記の「逆命題」を導くことはたやすい（多項式fとgとの比較を、両者の差f - gと零多項式との比較に帰着させる）。私の記憶では、少なくとも剰余定理は高校で習ったはずであるし、多項式の零点の個数に関する命題の証明も、仮に授業では習わなかったとしても高校生にも充分手の届く範囲であろう。少なくとも、線型代数の知識は全く必要とされない。

さらに、上記文中の最後の箇所

　この多項式と多項式関数とにおける「等しい」の意味の同値性は, 理学部数学科においてさえ十分教えられていないのではなかろうか？

に関して、通常の数学科の代数学の講義であれば、例えば「正標数pの素体 $\mathbb{F}_p$ において、多項式 $x^p - x$ は零多項式ではないがあらゆる点での値が0となる」という典型的な例を通じて、「一般の体上では、「多項式として等しい」と「多項式関数として等しい」は必ずしも等価ではない」ことを学習するであろうし、「では、どのような体の上であれば両者が等価となるか」について考えを巡らせる機会も与えられているだろう。上記の記述はさすがに勇み足ではないだろうか。