「美しい数式」の話、続編
以前書いた記事（『「美しい数式」の話』）で紹介した等式
（ここで右辺は「000102 ... 99」が以下循環する無限小数、という意味です）に関連して、@h_kagamiさんから以下のコメントをいただきました。
1/9801
.
= 0.00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
.
90 91 92 93 94 95 96 97 99 （＊１）
@MarriageTheorem 12345679 x 9 = 111111111 を想起します。もしかして本質的に類似の現象でしょうか。http://d.hatena.ne.jp/MarriageTheorem/20080727/1217129691
http://twitter.com/h_kagami/status/40807631069249536
この等式自体は美しい数式の例として頻繁に紹介される有名な等式なのですが、確かに言われてみれば、12345679という左辺の数の並びには、式（＊１）右辺の循環小数の循環部の並びに似た匂いを感じます。となると、両者には何らかの関連性があると期待したくなるものですので、両者の等式の関係を少し考察してみました。
大まかに言いますと、以下に述べる内容は「等式（＊１）と等式 9 × 12345679 = 111111111 の各々の背後に流れる「理由」の部分は、ある意味で互いに同値なものとなっている」ということです。
「掛け算型」から「割り算型」へ
冒頭に挙げた循環小数の等式（＊１）は、9801 （ = 992）に関連する「割り算型」の美しい等式と言うことができ、一方@h_kagamiさんのコメントにある等式 12345679 × 9 = 111111111 は、9に関連する「掛け算型」の美しい等式と言えましょう。
まず、後者の「掛け算型」の等式から、前者の「割り算型」に似た9に関連する等式を導けないだろうか、と考えます。今、式（＊１）の循環小数の循環部との整合性を保つため（および桁数を調整するため）、左辺を 012345679 × 9 と表記した上で、以下のようにこの等式の桁を9桁ずつずらしてできる等式を考えていきます（見やすさのために、ところどころの桁区切りに空白を入れています）。
これらの各辺ごとに足し合わせた無限和を考えると、右辺は 0.11111 ... と1が無限に続く循環小数、即ち1/9となります。一方左辺は「012345679が循環する無限小数」（これを一時的に A とおきます）の9倍となります。つまり9×A = 1/9 となり、両辺を9で割ることにより、冒頭の「割り算型」の等式と類似した等式
9 × 0 . 012345679 = 0 . 111111111
9 × 0 . 000000000 012345679 = 0 . 000000000 111111111
9 × 0 . 000000000 000000000 012345679 = 0 . 000000000 000000000 111111111
. （＊２）
.
.
が得られました（81 = 92であることに注意して下さい）。
. .
1 / 81 = 0.012345679 （＊３）
「割り算型」から「掛け算型」へ
逆に、9801即ち992に関する等式（＊１）から、99に関連する「掛け算型」の等式を導いてみます。今、式（＊１）右辺の循環部 000102 ... 9799を（長いので）Bと書くことにしますと、小数表示の桁を左側にBの長さ（198桁）だけずらすことで以下の等式が得られます。
10198 × 1 / 9801 = B.BBBBB ...
10198 = 10099に注意した上で、この等式から等式（＊１）の 1 / 9801 = 0.BBBBB ... を各辺ごとに引くと、(10099 - 1) / 9801 = B となります。この左辺の分子は 10099 - 1 = (100 - 1)×(10098 + 10097 + ... + 100 + 1) = 99 ×010101 ... 0101 （「01」を99回繰り返す）となりますので、99で約分した上で両辺に99を掛けることで、最終的に
という「掛け算型」の等式が得られました。
99 × 000102 ... 969799 = 010101 ... 0101 （右辺は「01」を99回繰り返す） （＊４）
一般化
上で行った「掛け算型」と「割り算型」の等式の相互導出は、より一般の場合にも拡張できます。
今、n進数k桁の数を0からnk-1まで（桁数がk桁に満たない場合は先頭に0を追加する）順に、2番目に大きい数（nk - 2）だけ除いて並べたものをB(n,k)と書くことにします。例えばB(10,1)は012345679、B(10,2)は上に出てきたBとなります。B(n,k)の長さはk (nk - 1)です。すると、以前の記事で説明した通り、0.B(n,k)B(n,k)B(n,k) ... とB(n,k)が繰り返される（n進数の）循環小数は
1/(nk-1)2 = 0.B(n,k)B(n,k)B(n,k) ... （＊５）
という簡素な表示を持ちます（「割り算型」の等式）。
この等式の両辺にnk (nk - 1)を掛けると、（nk = Nとおいて）N(N-1) / (N-1)2 = B(n,k).B(n,k)B(n,k) ... となり、そこから等式（＊５）を引くと (N(N-1) - 1) / (N-1)2 = B(n,k)が得られます。
上で行ったのと同様に左辺をN-1で約分すると、(NN-2 + NN-3 + ... + N + 1) / (N-1) となりますので、最終的に
という等式が得られます（「掛け算型」の等式）。ここで右辺の値は、n進数で「000 ... 01」（0がk-1個続いた後に1が一つ）がN-1個並ぶ数であることに注意して下さい。
(N-1) × B(n,k) = NN-2 + NN-3 + ... + N + 1 （＊６）
具体例を挙げますと、n = 10でk = 1のときが等式 9 × 12345679 = 111111111、n = 10でk = 2のときが等式（＊４）に対応します。他の例としては、
- n = 2でk = 3のとき、(111)2 × (000 001 010 011 100 101 111)2 = (001 001 001 001 001 001 001)2 （両辺は2進数表示、見やすいように桁区切りの空白を入れています）
- n = 16でk = 1のとき、0xF × 0x0123456789ABCDF = 0x111111111111111 （両辺は16進数表示、「0x」は接頭語）
といった等式が得られます。
逆に、「掛け算型」の等式（＊６）から出発して、等式の列（＊２）で行ったように桁をずらしつつ足し合わせることで、「割り算型」の等式（＊５）を復元することもできます（長くなったので詳細は割愛します）。
まとめ
ということで、1/9801の美しい循環小数表示と、美しい掛け算 9 × 12345679 = 111111111 の間には、ただの偶然だけではない関係があると言えるでしょう。
これはわかってしまえば決して難しいことではないのですが、現象の説明が難しいかどうかとその現象を感じ取れるかどうかは別問題ですので、冒頭に引用した@h_kagamiさんのコメントはやはり素晴らしいものであると言えましょう。
『岸辺露伴 ルーヴルへ行く』 in 京都国際マンガミュージアム
もう２か月以上前の話ですが、「JOJO」の荒木飛呂彦先生も出展していた京都国際マンガミュージアム特別展「マンガ・ミーツ・ルーヴル――美術館に迷い込んだ5人の作家たち」が昨年11月に開催された際、同時期に丁度京都大学への出張があったため、「「特別展を観に行きたい」そんな言葉は使う必要ねーんだ（略）「特別展を観に行った」なら使っていい！」という勢いで現地に赴きました。
神がいるとして運命を操作しているとしたら！今回ほどよく計算された出張はあるまいッ！
展覧会のタイトル通り全部で５人の作家が出展していたのですが、他の４人は置いといて（笑）、肝心の荒木先生の作品の題名は『岸辺露伴 ルーヴルへ行く』。JOJO第４部に登場するスタンド使いの漫画家・岸辺露伴が、ある人物との出会いをきっかけとしてルーヴル美術館に眠る謎の絵画の調査に乗り出したところ、何者かに襲撃され・・・というお話、だと思います、台詞がフランス語だったので読めなかったのですが（笑）。
今までで最もフランス語を習得したくなった瞬間です。もしくはヘブンズ・ドアーを使える友人ができるのでもよいですが。
ちなみに、会場内の本棚には出展作家たちの過去の作品が置いてあり、自由に手に取って読めるようになっていました。もちろん、「JOJO」をはじめとする荒木先生の作品たちも。その場で全巻読破したい欲求と戦いつつ、『バオー来訪者』の２巻だけじっくりと読んできました。ンッン〜名作だなこれは・・・
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なお、ダメもとで検索してみたところ、『岸辺露伴 ルーヴルへ行く』はどうやら市販されていることが判明！なにィィィィィィ！
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2010年Jリーグヤマザキナビスコカップ決勝戦 磐田vs広島
敢えて言おう、馬鹿試合であると！（←褒め言葉）
個人的には、サッカー的にもネタ的にも楽しめる最高の試合でした。観戦中「何なんだこの試合は」と素でつぶやいたこと３度。あんな奇妙な試合観たことありません（笑）。
試合内容のいろいろはこちらのブログに書かれているので割愛するとしまして、一点だけ。
槙野選手と愉快な仲間たちによるゴールパフォーマンスが事前に仄めかされていたものと違った、という話がありますが、個人的にはあの弓矢パフォーマンスには、初タイトルを賭けた大事な試合だからこそチームの原点*1に回帰するという精神が垣間見えて感動しました。（まさかあの後あんな馬鹿試合（←くどいようですが、褒め言葉）に突入することになろうとは・・・）
「当選確実」と"ｐｒｏｊｅｃｔｅｄ ｗｉｎｎｅｒ"
以前から取り上げている話題ですが、参議院議員選挙の前日ということで改めて書いておきます。
日本の選挙速報で用いられている「当選確実」という用語は、（正確な定義は各報道機関に依ると思われますが）概ね、出口調査の結果から統計的な推定を用いて「高確率で当選する」と判断された候補者を指します。
つまり、仮に推定結果に科学的な裏付けがあったとしても、その候補者が当選するというのはあくまで「予測」であり、客観的確定的な「事実」ではありません。実際、一度はある候補者の「当選確実」が報じられたものの、最終的にはその候補者が落選したという例もあります。
にもかかわらず、多くの報道機関が「確実」という、単なる「推測」ではなく確定的な「事実」であるかのように誤解させる表現*1を用いています。私見では、「当選確実」の代わりに例えば「当選見込」といった表現に改めるだけで、ずっと実情を反映した報道へと改善されると思います。報道機関というのは言葉のプロの集まりだと私は理解しているのですが、そうであるならば当該機関の皆さまにはより繊細な言葉遣いをしていただきたいものです。
ちなみに、いくつかのウェブページによると、「当選確実」に相当する英語の表現として"projected winner"という用語があるそうです。
projected winnerといえば選挙では「当選確実な候補」。
「ほぼ毎日 英語学習日記 〜 英語holic 〜」(http://kyonenglish.blog98.fc2.com/blog-entry-882.html)
当確者は、ｐｒｏｊｅｃｔｅｄ（推定された）を使ってｐｒｏｊｅｃｔｅｄ ｗｉｎｎｅｒというのが普通だ。
「【早稲田の英語】（２２）選挙 浮動票は「ｓｗｉｎｇ ｖｏｔｅ」」 ― MSN産経ニュース (http://sankei.jp.msn.com/life/education/090828/edc0908280838001-n1.htm)
後者の引用部にもある通り、"projected"という語には「推定された」という意味があるようで、"projected winner"ならば、当選すると「推定された」候補者、というニュアンスがちゃんと含まれているようですね。
他国でより適切な用語が用いられているのに、日本では不可能という理由はないでしょう。こういった細かい点に気を配っていくことが、「事実」と「予測」を区別するという大切な習慣の定着に繋がっていくものと考えます。
なお、前回の衆議院議員選挙の際に総務省が各報道機関に対し、「当選確実の放送等を慎重かつ正確に行」うことを含む要請を行った（http://www.soumu.go.jp/menu_news/s-news/02ryutsu09_000037.html）という話もあります。意義深い取り組みだと感じますが、できればこういった不適切で紛らわしい用語についても指摘してもらえないかなぁと思います。
